Le paradoxe des jumeaux

Supposons que deux voyageurs, Blue et Red, se déplaçant à vitesse constante dans l'espace se croisent l'un et l'autre à un moment donné. Mettons nous à la place de Blue. Blue a l'impression d'être immobile, car un corps en mouvement ne ressent que les accélérations, or la vitesse de Blue ne change pas. Red arrive sur Blue à une certaine vitesse de croisement. Si cette vitesse est très grande, la théorie de la relativité restreinte affirme le temps de Red tourne au ralenti per rapport à celui de Blue. C'est un effet certes surprenant mais on l'admet facilement.

Cependant une contradiction semble apparaître quand on applique ce que l'on appelle le principe de relativité. Il stipule que les choses doivent être semblables du point de vue de Red : le temps de Blue est ralenti par rapport à celui de Red.
Mais alors, laquelle des deux horloges tourne la plus vite, celle de Red ou celle de Blue ?

Réponse de la théorie de la relativité : on ne peut pas comparer les vitesses sans préciser un observateur. La réponse dépend alors de l'observateur. Autrement dit la question n'a pas de sens. Plus précisément le temps tel qu'on le conçoit n'existe plus, il dépend de l'observateur. (La situation est pire que ce que l'on s'imagine : non seulement la vitesse d'écoulement (subjective) du temps dépend de l'observateur mais aussi la notion de d'ordre et de simultanéité : l'ordre dans lequel se déroule deux événements n'est pas toujours bien défini)

Explications :

Le dessin ci-dessus illustre le paradoxe des jumeaux (et le résout dans une certaine mesure) : l'axe des x représente l'espace et celui des y le temps : c'est l'espace-temps. Il représente la scène telle que la décrirait un certain observateur, Gray. Pour simplifier, l'univers de Gray n'a qu'une dimension : c'est une ligne. A chaque instant, l'état de l'univers est dessiné sur une ligne horizontale différente, sa hauteur augmentant quand le temps passe. Le dessin est donc un empilement d'un nombre infini d'instantanés. A chaque instant on représente Blue par un point bleu et Red par un point rouge. Leurs traces dans l'espace-temps sont donc des droites, puisque leur vitesse est constante.
Pour Gray, les deux protagonistes s'éloignent l'un de l'autre à vitesse constante. Leur temps s'écoule au même rythme, qui est plus lent que celui de Gray (0.87 fois dans cet exemple, où 5 carreaux en hauteur représentent 1 seconde, et 5 en largeur 300 000 kilomètres). La ligne bleu claire indique ce que Blue se représente comme étant l'instant t = 0.87 s . Plus précisément l'instantané 0.87s de Blue (c'est à dire la disposition des objets dans l'univers au temps t=0.87 s de Blue), qui est une tranche horizontale du diagramme espace-temps de Blue, correspond pour Gray à une tranche inclinée de l'espace-temps. A l'instant t=0.87s de Blue, on voit que l'horloge de Red marque 0.52s. L'instantané t=0.87s de Red est incliné différemment. A l'instant t=0.87s de Red, on voit que l'horloge de Blue marque 0.52s.

Bonus

Voici comment Blue décrit la même scène :

Voici un illustration du paradoxe des longueurs : les véhicules de Blue et Red sont représentés par des segments, dont on a matérialisé les extrémités par des points rouges et bleus. Chacun considère que le véhicule de l'autre est plus court que le sien.

Remarques :

L'observateur Gray est facultatif, mais je trouve qu'il aide à la compréhension.
Ce que se représente Blue et ce qu'il voit sont différent : en effet, le temps que met l'information visuelle à lui parvenir n'est pas négligeable, car les mouvements se font presque à la vitesse de la lumière. En particulier, outre l'effet Doppler qui décale les fréquences lumineuses, Blue voit en fait le temps de Red s'écouler plus vite que le sien, tant que rouge s'approche de lui. Puis quand il s'éloigne, Blue voit temps de Red s'écouler un peu plus lentement que dans la description précédente. Si Blue est averti de ce phénomène, il peut lui-même effectuer les corrections, et constater que le temps de Red s'écoule effectivement plus lentement que le sien, qu'il s'approche ou s'éloigne. Une autre méthode pour s'affranchir de cet effet de distorsion visuelle est d'accrocher à Blue un référentiel : un ensemble de capteurs immobiles par rapport à Blue et régulièrement espacés, munis d'horloges toutes accordées entre elles. Un objet traversant l'espace active ces capteurs, et avec leurs données, on peut donner un sens à la notion de "trajectoire de Red pour Blue".